笛卡兒數學成就主要是解析幾何，開創性的將代數和幾何整合在一起，而且以此為基礎，延伸到哲學思辨，本文介紹他如何從三角形180度推論上帝的存在。
一、天賦觀念論本質
笛卡兒首先聚焦於「量」的清楚明晰知覺。他發現自己能清晰地想像物體的廣延、形狀、數字與運動，並能理解它們之間的關係。這些概念並非從感官學得，而是理性中自然生成的真理。當他發現這些觀念時，感覺更像是「回想起」而非「學到」新的知識。像這樣「回想」vs「學習」的區分 ，其實是呼應了柏拉圖的「回憶說(anamnesis)」——真正的知識不是從外部獲得，而是心靈內在本有的，當我們「學習」幾何時﹐其實是喚醒理性中既有的真理。
他進一步指出，這些觀念具有「真實且不變的本性」。即使外在世界的物體不一定存在，觀念本身仍擁有確定、永恆的本質，不依附於感官經驗，也不依賴個人的心靈創造。以較為專門術語而言，可以稱之為天賦觀念(innate ideas)。
以三角形為例：無論你是否曾看見過三角形，你都可以理性地證明它的性質——例如三角之和等於兩直角，也就是三角形180度。這些性質並非被人發明，而是被理性「發現」的。由此可見，如同笛卡兒我思故我的可靠基礎，在這些觀念的本質是真實存在的「某物」，而非虛構的「無」。
二、笛卡兒數學上帝
在確認觀念具有真實且不變的本性後，笛卡兒將論證推進至「上帝的觀念」。他指出，心靈中存在一個「無限完美的存在」的觀念，這個觀念並非人為創造，而是與理性本身同在。若仔細分析「完美」的意義，就會發現「存在」本身也是一種完美。
因此，既然上帝的觀念包含一切完美，那麼「存在」就不能從祂的本質中分離。正如三角形的三角之和必等於兩直角一樣，上帝的「存在」屬於祂的「本性」。若假設一個「不存在的完美上帝」，就如同假設「沒有角的三角形」般矛盾。
透過這個論證，笛卡兒從三角形180度推展到上帝存在論證，提出一種「本體論的證明」(Ontological Proof)：上帝的存在並非由外在經驗推導，而是由觀念本身的必然性所揭示。
簡單而言，在確立觀念的本質之後，笛卡兒進一步以此為基礎，提出著名的「上帝存在的本體論論證」。
前提一：我在心中擁有一個「無限完美存在」的上帝觀念。這個觀念並非感官經驗的產物，而是理性內在的清楚明晰觀念，與數學真理同樣確定。
前提二：我清楚明晰地知覺到「存在」本身是一種「完美」。若上帝缺少存在這一項完美，那祂便不再是無限完美的存在。
結論：因此，「存在」必然屬於上帝的本質。假設一個「不存在的上帝」，就如同假設一個「沒有角的三角形」般矛盾，因為否定祂的存在即否定祂作為「完美存在」的本質。
透過這個推論，笛卡兒主張：上帝的存在並非需透過外在證據，而是內在理性本身的必然真理。祂的存在如同數學公理般確定，是理性結構中無法被否定的起點。
三、形而上到認識論
笛卡兒進一步指出，理性知識的確定性必須以上帝的真實存在為基礎。當他尚未確知上帝存在時，即使對幾何或數學命題感到確信，也仍可能懷疑是否被某種力量欺騙。然而，當他認知到上帝是真實且不欺騙的存在，一切清楚明白的觀念都可被確認為真。
因此，上帝的存在成為理性真理的最終保證。只有透過這樣的基礎，人才能脫離懷疑，確立科學與哲學的確定性。從此，笛卡兒的理性世界獲得了堅固的根基：上帝是真理的源泉，理性則是通向真理的途徑。於是結合整個《沉思錄》內容，笛卡兒在形上學把上帝當作不可欺騙的存在，然後再延伸至認識論，上帝是一切真理的保證，而且之後會再擴展到自由意志哲學的範疇。
四、中英文對照精選
在第五沉思中，笛卡兒從「本質」與「觀念」的反思出發，重新確立上帝存在的必然性，並以此奠定真理與知識的根基。以下提供《Six metaphysical meditations》中英文對照精選版，擷取重點段落，讓讀者能以簡潔清晰的方式，同時體會思想的深度與語言的美感。
一、本質與觀念的性質
The Nature of Essence and Ideas
英文（現代英譯）
When I imagine a triangle, even if such a figure exists nowhere in the world, it still has a definite and immutable nature — three sides, three angles equal to two right angles.
中文翻譯
當我想像一個三角形，即使世界上並不存在這樣的形體，它依然具有確定且不變的本質——三條邊、三個角，總和等於兩個直角。
英文（現代英譯）
Thus, even if no triangles exist in reality, the essence or “idea” of triangle is true and unchanging.
中文翻譯
因此，即使現實中沒有三角形存在，三角形的本質或「觀念」仍然是真實且不變的。
二、上帝存在的再證明
The Reaffirmation of God’s Existence
英文（現代英譯）
From this reflection I perceive that the idea of God — a being supremely perfect — includes existence as part of its essence.
中文翻譯
由此我體認到，上帝的觀念——作為一個至高完美的存在——其本質中必然包含「存在」。
英文（現代英譯）
For to deny existence to a perfect being would be to imagine a mountain without a valley, or perfection lacking something essential.
中文翻譯
因為若否認完美存在的實有性，就如同想像一座沒有山谷的山，或一種缺乏本質要素的完美，這是自相矛盾的。
三、真理的根基：上帝與知識的確定性
The Foundation of Truth: God and the Certainty of Knowledge
英文（現代英譯）
God’s perfection guarantees the truth of my clear and distinct perceptions. For if God were a deceiver, even the most evident truths could not be trusted.
中文翻譯
上帝的完美確保我清楚而明確的知覺是真實的。因為若上帝會欺騙，那麼即使最明顯的真理也不足以信任。
英文（現代英譯）
Hence, the existence of a benevolent and non-deceptive God becomes the ultimate foundation of all human knowledge and certainty.
中文翻譯
因此，一位仁慈且不欺騙的上帝的存在，成為人類一切知識與確定性的最終根基。
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